"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty — a beauty cold and austere, without the gorgeous trappings of painting or music." —Bertrand Russell
domingo, 28 de febrero de 2016
Fibonacci; Matemáticas y Naturaleza
Tarea 3
Localiza
y describe un fenómeno natural o
en el que haya mediación humana (por ejemplo a través de objetos tecnológicos),
que pueda ser modelizado matemáticamente.
¿De
cuántas maneras diferentes puedes subir las escaleras de tu casa de 1, 2, 3, 4,
5 y 6 escalones suponiendo que, como
máximo, se te permite subir los escalones de dos en dos?
Datos del problema: Las escaleras de
tu casa pueden tener 1,2,3,4,5 o 6 escalones.
Condición: Subir los escalones como
máximo de dos en dos.
Pregunta: ¿De cuántas maneras
puedes subir las escaleras, en cada caso?
Para resolver este problema los alumnos deberán construir la siguiente
tabla de doble entrada
Para resolver este problema los alumnos deberán primero realizar los
dibujos de los escalones, experimentar y construir la siguiente tabla de doble
entradas:
ESCALONES
|
MANERAS
|
RAZONANIENTO
|
1
|
1
|
Directamente
|
2
|
2
|
Directamente
De
uno en uno
|
3
|
3
|
De
uno en uno
Dos
escalones y después uno
Un
escalón y después dos
|
4
|
5
|
De
uno en uno
De
dos en dos
Uno,
uno y dos
Dos,
uno y uno
Uno,
dos y uno
|
5
|
8
|
De
uno en uno
Dos,
dos y uno
Uno,
dos y dos
Dos
, uno y dos
Uno,
uno , uno y dos
Uno,
uno, dos y uno
Uno,
dos, uno y uno
Dos,
uno, uno y uno
|
6
|
?
|
?
|
A continuación los alumnos irán descubriendo los números que conforman la
sucesión de Fibonacci añadiéndole el primer 1:
Establecemos la
siguiente fórmula que da lugar a la sucesión de números:
Por lo tanto podemos decir que:
3ª Fase: Resolución del problema dentro de la matemática.
Aplicando la fórmula anterior podemos deducir de cuantas maneras podemos subir 6 escalones
4ª Fase:
Interpretación de la solución matemática en términos del problema original
y planteamiento de conclusiones y
consecuencias.
Por lo tanto,
la interpretación de la solución matemática del problema es que existen 13 maneras de subir 6 escalones.
Este problema
permite al alumnado descubrir la utilidad de la sucesión de Fibonacci y su interesante
aplicación en la naturaleza:
“Pero los números de la sucesión de
Fibonacci van a sorprender a todos los biólogos.
Como muy bien nos enseña la
filotaxia, las ramas y las hojas de las plantas se distribuyen buscando siempre
recibir el máximo de luz para cada una de ellas. Por eso ninguna hoja nace
justo en la vertical de la anterior. La distribución de las hojas alrededor del
tallo de las plantas se produce siguiendo secuencias basadas exclusivamente en
estos números.
El número de espirales en numerosas flores y frutos también se ajusta a
parejas consecutivas de términos de esta sucesión: los girasoles tienen 55
espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144. Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales.
Y cualquier variedad de piña presenta siempre un número de espirales que coincide con dos términos de la sucesión de los conejos de Fibonacci, 8 y 13; o 5 y 8.
Parece que el mundo vegetal tenga programado en sus códigos genéticos del crecimiento los términos de la sucesión de Fibonacci. “
Es interesante también, en esta fase, la visualización en el aula del video :”La Naturaleza en números” de Cristóbal Vila
Fuente del
planteamiento del problema: Modelling in Science Education and Learning
Fuente información sobre la sucesión de Fibonacci y la
naturaleza: http://www.ite.educacion.es/formacion/enred/web_espiral/naturaleza/vegetal/fibonacci/fibonacci.htm
Modelización matemática de un problema
TAREA 1
Vamos a
ejercitar nuestras habilidades para modelizar matemáticamente un problema. Para
ello te proponemos que resuelvas el siguiente problema tratando de explicitar
las fases de la modelización que sigues.
En 1993 las
reservas mundiales de gas natural se estimaron en 141,8 billones de metros
cúbicos. Desde entonces se han consumido anualmente 2,5 billones de metros
cúbicos. Calcula cuándo se acabarán las reservas de gas natural.
Los datos relevantes del problema son:
1.-La fecha:1993
2.-Las reservas mundiales de gas: 141,8 billones de metros cúbicos
3.-El consumo anual de gas: 2,5 billones de metros cúbicos
4.- La pregunta: ¿Cuándo se acabarán las reservas de gas natural?
2ª Fase de la modelización: Construcción de un modelo matemático adecuado.
4ª Fase de
la modelización: Interpretación de la solución matemática en términos del
problema original y planteamiento de
conclusiones y consecuencias.
Las reservas de gas
natural se acabarán al cabo de 56 años, 8 meses, 19 días, 4 horas y 48 minutos,
lo que sucederá en el año 2049.
Este problema nos permite entablar un debate sobre las energías renovables y la conservación del planeta Tierra.
A continuación contesta a las siguientes preguntas:
·
¿Cuál de
las fases de la modelización cobra más importancia?
La fase más compleja de la modelización matemática de
un problema es, a mi entender, es la última. La interpretación de la solución
matemática, el planteamiento de
conclusiones y sus consecuencias permite
la reflexión sobre .
·
¿Cuál es
la más compleja?
La fase más compleja de la modelización matemática de
un problema es la segunda pues la construcción de un modelo matemático adecuado
para un problema real supone, para el alumnado, un proceso de abstracción y, también,
presupone que el alumnado tiene adquirido los conocimientos y competencias
matemáticas para su resolución.
·
¿En qué
nivel educativo la aplicarías?
Este problema se podría aplicar a partir de 1º de la
ESO. Es complejo para su aplicación en Educación Primaria.
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